Теоретические методы исследования диссипативных динамических систем

  1. Основные понятия. Открытые системы. Неравновесность. Нелинейный осциллятор, возбудимая среда, автоволны, диссипативные структуры. Элементы качественной теории динамических систем. Диссипативные системы. Фазовый портрет, траектория, основные типы бифуркаций на плоскости. Устойчивость, характеристические показатели Ляпунова. Понятие аттрактора.
  2. Бифуркации в многомерных системах. Странные аттракторы. Отображение Пуанкаре. Теория одномерных гладких отображений. Хаос в динамических системах и сценарии (пути) его возникновения. Фрактальные структуры и их размерность.
  3. Примеры пространственно-временных структур в нелинейных распределенных системах. Автоволновые режимы в средах с диффузией. Уравнение Фишера-Колмогорова-Петровского-Пескунова. Волны перемещения. Бегущие импульсы. Спиральные волны. Ведущие центры. Стационарные неоднородные структуры, бифуркация Тьюринга.
  4. Пространственно-временные структуры в физических и химических системах и соответствующие модели. Модель Пригожина-Лефевра-Николиса («брюсселятор»). Тепловые волны и неоднородные стационарные состояния в системе Fe+H2. Механизм эффекта баретирования.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Провести бифуркационный анализ модели «Брюсселтор».
  2. Доказать, что сумма показателей Ляпунова равна усреднённой по траектории дивергенции векторного поля.
  3. Построить канторово множество, имеющее фрактальную размерность \log_7{4}.
  4. Чему равна фрактальная размерность трёхмерного ковра Серпинского?
  5. Вычислить два первых бифуркационных параметра последовательности Фейгенбаума для логистического отображения.
  6. Найти скорость установившейся волны (автомодельного решения) для уравнения \partial{x}/\partial{t}=\alpha(a-x)(b-x)(c-x)+\partial^2{x}/\partial{r}^2, где a < b < c
  7. Вывести условия бифуркации Тьюринга для распределённой модели «Брюсселятор».
  8. В чём суть эффекта баретирования? Оценить диапазон напряжения, в котором ток, протекающий через баретор, остаётся постоянным.

Список литературы

  1. А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику.- М.: Наука, 1990.
  2. А.И. Чуличков. Математические методы нелинейной динамики.- М.: Физматлит, 2000
  3. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. Пер. с англ. -М.: Мир, 1983
  4. А. Лихтенберг, М. Либерман. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.
  5. В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.